Теорема о биссектрисе внутреннего угла треугольника,
второе доказательство

Таким же образом, используя формулу для площади треугольника, можно доказать и теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника.

Теорема (о биссектрисе внутреннего угла треугольника).

Если AA1 ¾  биссектриса угла A треугольника ABC, то

BA1 : A1 C = BA : AC.

Доказательство. Пусть угол при вершине A в треугольнике ABC равен 2a. Рассмотрим треугольники BAA1 и CAA1 (см. рис.). Их площади относятся как отрезки BA1 и A1C, поскольку высота к этим сторонам в рассматриваемых треугольниках общая.

С другой стороны, воспользуемся для площадей этих треугольников формулой . Имеем

Как видим, при доказательстве обеих теорем мы использовали один очень простой факт:

если два треугольника имеют общую вершину, а противолежащие этой вершине стороны расположены на одной прямой, то площади треугольников относятся как стороны, лежащие на одной прямой.

Этот факт является частным случаем следующего более общего утверждения, которое также необходимо запомнить.

Задача 2.

Докажите, что длину биссектрисы AA1 треугольника ABC можно вычислять по формуле

,

где b = AC, c = AB, A  ¾  угол BAC (см. рис.).

Решение. Будем исходить из очевидного равенства

или

Далее воспользуемся формулой sin2a = 2sina  · cosa . (Эта формула вытекает из формул сложения, но мы докажем ее с помощью формулы площадей.)

Вывод формулы синуса двойного угла

Рассмотрим равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными 1, и углом 2a между ними (см. рис.).

Высота, она же биссектриса, разбивает треугольник на два равных прямоугольных треугольника с катетами sin a и cos a. Площадь каждого из них равна sin a · cos a, площадь всего треугольника равна  sin 2a. Значит,

Заменив в левой части равенства и сократив обе его части на , получим

откуда


Контрольные вопросы

Дан треугольник ABC. Для его сторон AC и AB выполняется: AB/AC = 1/5.В этом треугольнике проведена биссектриса AA1. Найдите A1C/A1B
Ответ:
Дан треугольник ABC. Стороны AB и AC соответственно равны 2 и 3. Угол A равен 120°. Найти длину биссектрисы AA1 ?
Ответ: (дробь записывать с помощью "/" ,например, "1/5")