Отношение площадей подобных фигур

Теорема 9.2 (об отношении площадей подобных фигур).

Площади подобных фигур относятся как квадраты сходственных линейных элементов.

Или, иначе,отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия (см. рис.).

Доказательство. Докажем эту теорему для треугольников. Требуемое утверждение можно получить на основании любой формулы, выражающей площадь треугольника. Пусть коэффициент подобия второго треугольника по отношени к первому равен k.

Если a ¾ сторона первого треугольника, то ей соответствует сторона ka второго. Все углы в треугольниках соответственно равны. Утверждение теоремы следует теперь из формулы для площади треугольника.

Утверждение теоремы легко распространяется на подобные многоугольники, поскольку их можно разбить на соответственно подобные треугольники.

Что же касается произвольных подобных фигур, то здесь мы ограничимся одним общим замечанием. Произвольные подобные фигуры можно сколь угодно точно приблизить соответственно подобными многоугольниками, для которых теорема доказана. На основании этого мы делаем вывод, что она верна и для произвольных подобных фигур.

Контрольные вопросы

В треугольнике ABC прямая параллельная BC, пересекает AB и AC соответственно в точках B1 и C1. Найдите площадь треугольника ABC1, если площади треугольников ABC и AB1C1 равны соответственно 4 и 16.
Ответ:
Отношение площадей двух подобных фигур равно 9. Найдите коэффициент подобия фигур .
Ответ:
Треугольник ABC может быть собран из четырех треугольников A1B1C1. Найдите коэффициент подобия этих треугольников .
Ответ: