Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны (рис. 1).

   1
Теорема (о свойствах и признаках параллелограмма).

В любом параллелограмме:
а) противоположные стороны равны;
б) противоположные углы равны;
в) диагонали делятся пополам точкой пересечения.
При этом, если четырехугольник имеет любое из трех перечисленных свойств, то тот четырехугольник - параллелограмм.

2 3 4

Каждый из пунктов теоремы дает как свойство параллелограмма, так и признак параллелограмма.

Доказательство.

а) Свойство параллелограмма. Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 2). Согласно свойству параллельных прямых РBAC = РACD (AB и CD - параллельные прямые, AC - секущая). Точно так же РACB = РCAD. Таким образом, треугольники ABC и CDA равны по второму признаку равенства треугольников и AB = CD, BC = AD.

Признак параллелограмма. Пусть в четырехугольнике ABCD имеет место равенства AB = CD и BC = AD. Тогда треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку равенства треугольников. Эти треугольники должны располагаться по разные стороны от прямой AC, так как в противном случае ABCD не являлся бы четырехугольником. Следовательно, из равенства РBAC = РDCA мы можем заключить, то прямые AB и CD параллельны, а из равенства РBCA = РDAC сделать вывод о параллельности BC и AD. Значит, ABCD - параллелограмм.

б) Свойство параллелограмма. Если ABCD - параллелограмм, то из равенства треугольников ABC и CDA мы получаем равенство углов ABC и CDA, а из равенства треугольников BAD и DCB следует равенство двух других противоположных углов этого параллелограмма.

Признак параллелограмма. Пусть в четырехугольнике ABCD равны противоположные углы при вершинах A и C, а также при вершинах B и D. Обозначим величины углов первой пары через a, а второй пары - через b (рис. 3). Зная, что сумма углов четырехугольника равна 360°, получим 2a + 2b = 360°, откуда a + b = 180°. Теперь на основании признака параллельности получаем, то в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны.

в) Свойство параллелограмма. Обозначим через O точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD (рис. 4). На основании пункта а) заключаем, что AB = CD. Кроме того, согласно свойству параллельных и секущей, РABO = РODC и РBAO = РOCD. Значит, треугольники BAO и DCO равны по второму признаку равенства треугольников и AO = CO, BO = OD.

Признак параллелограмма. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Тогда треугольники BAO и DCO равны согласно первому признаку равенства треугольников, поэтому РBAO = РDCO, т. е. прямые AB и CD параллельны на основании соответствующего признака параллельности. Точно так же параллельными являются стороны AB и BC. t

1. Найдите наименьшую сторону параллелограмма, у которого наибольшая сторона на 2 см больше наименьшей, а периметр равен 20 см.
Ответ:
2. Верно ли, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом (О -точка пересечения его диагоналей), если стороны AB и CD равны, а стороны AB и CD параллельны?
Да
Нет
3. Верно ли, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом (О -точка пересечения его диагоналей), если  AO = OC и AB = CD?
Да
Нет
4. Известно, что около параллелограмма ABCD можно описать окружность. Найдите угол ABC.
Ответ: