Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны (рис. 1).
В любом параллелограмме:
а) противоположные стороны равны;
б) противоположные углы равны;
в) диагонали делятся пополам точкой пересечения.
При этом, если четырехугольник имеет любое из трех перечисленных свойств, то тот четырехугольник - параллелограмм.
2 3 4
Каждый из пунктов теоремы дает как свойство параллелограмма, так и признак параллелограмма.
Доказательство.а) Свойство параллелограмма. Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 2). Согласно свойству параллельных прямых РBAC = РACD (AB и CD - параллельные прямые, AC - секущая). Точно так же РACB = РCAD. Таким образом, треугольники ABC и CDA равны по второму признаку равенства треугольников и AB = CD, BC = AD.
Признак параллелограмма. Пусть в четырехугольнике ABCD имеет место равенства AB = CD и BC = AD. Тогда треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку равенства треугольников. Эти треугольники должны располагаться по разные стороны от прямой AC, так как в противном случае ABCD не являлся бы четырехугольником. Следовательно, из равенства РBAC = РDCA мы можем заключить, то прямые AB и CD параллельны, а из равенства РBCA = РDAC сделать вывод о параллельности BC и AD. Значит, ABCD - параллелограмм.
б) Свойство параллелограмма. Если ABCD - параллелограмм, то из равенства треугольников ABC и CDA мы получаем равенство углов ABC и CDA, а из равенства треугольников BAD и DCB следует равенство двух других противоположных углов этого параллелограмма.
Признак параллелограмма. Пусть в четырехугольнике ABCD равны противоположные углы при вершинах A и C, а также при вершинах B и D. Обозначим величины углов первой пары через a, а второй пары - через b (рис. 3). Зная, что сумма углов четырехугольника равна 360°, получим 2a + 2b = 360°, откуда a + b = 180°. Теперь на основании признака параллельности получаем, то в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны.
в) Свойство параллелограмма. Обозначим через O точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD (рис. 4). На основании пункта а) заключаем, что AB = CD. Кроме того, согласно свойству параллельных и секущей, РABO = РODC и РBAO = РOCD. Значит, треугольники BAO и DCO равны по второму признаку равенства треугольников и AO = CO, BO = OD.
Признак параллелограмма. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Тогда треугольники BAO и DCO равны согласно первому признаку равенства треугольников, поэтому РBAO = РDCO, т. е. прямые AB и CD параллельны на основании соответствующего признака параллельности. Точно так же параллельными являются стороны AB и BC. t