Координаты вектора

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

Пусть A и B - две точки координатной плоскости. Их координаты соответственно (x1 ; y1 ) и (x2 ; y2 ). Тогда координаты вектора таковы: (x2 - x1 ; y2 - y1 ). Они получаются вычитанием из координат конца вектора координат его начала .

Понятно, что в какой бы точке плоскости мы ни поместили начало вектора, его координаты будут одними и теми же.

Изменение координат при линейных преобразованиях векторов

Нажми и увидишьПри умножении вектора на число его координаты соответственно умножатся на это число, т. е. если вектор a имел координаты (a ; b), то координатами вектора k a будут (ka; kb).

Нажми и увидишьПри сложении векторов их координаты соответственно складываются, т. е. если векторы a и b имели соответственно координаты (a1 ; b1 ) и (a2 ; b2 ), то координатами вектора a + b являются (a1 + a2 ; b1 + b2 ).

Теорема о единственности разложения вектора
по двум неколлинеарным векторам

Теорема о разложении вектора.

Пусть a и b - два неколлинеарных вектора плоскости. Тогда для любого вектора m плоскости существует, и притом единственная, пара чисел x и y такая, что

m= x a+ y b.

Доказательство. Пусть A и B -- соответственно начало и конец вектора m , т. е. m = . Проведем через точку A прямую, параллельную вектору a , а через точку B -- прямую, параллельную вектору b.

Обозначим через C точку пересечения этих прямых.

Имеем = + . Но вектор коллинеарен вектору a. Значит, = x a . Точно так же из коллинеарности вектора вектору b следует, что = y b . Таким образом, m = x a + y b .

Итак, мы доказали, что такая пара чисел x и y существует. Теперь докажем, что она единственна.

Предположим, что существует еще одна пара чисел x1 и y1 такая, что m = x1 a + y1 b .

Имеем

x a + y b = x1 a + y1 b ,

откуда

(x - x1 ) a = (y1 - y) b .

Но последнее равенство возможно лишь при условии, что x = x1, y = y1 . Если, например, x не равен x1 , то можно выразить вектор a через b : a = k b . А это означает коллинеарность векторов a и b . t

Замечание. Рассмотрим декартову систему координат. Обозначим через i и j единичные векторы, направленные по осям координат. Представим вектор m в виде m = xi +y j.

Коэффициенты x и y в данном случае являются координатами вектора m в этой системе координат.

 

Контрольные вопросы

Любой вектор плоскости можно разложить по любым двум векторам.

Да

Нет

Только если эти вектора неколлинеарны

Только если эти вектора перпендикулярны

Из перечисленных векторов выберите те, которые коллинеарны вектору a(-2; 4)

b(-1;2)

c(4;-2)

d(0.5;1)

e(4;-8)

f(0;-2)

Могут ли равные вектора иметь разные координаты.

Да

Нет

Могут, в разных декартовых системах координат

Даны два вектора a(3; –2) и b(2; 3). Найдите длину вектора 3a – 2b.

Ответ (в ответе число)

На координатной плоскости заданы точки A(–1; 3), B(7; –5), C(3; 4). Найдите координаты вектора BC - AB/2 (в ответе укажите сумму координат).

Ответ (в ответе число)