Площадь круга и его частей

После того как вы научились вычислять длину окружности, не составит большого труда вывести формулу для вычисления площади круга.

Площадь круга

Рассмотрим круг радиуса R. Опишем около него правильный n-угольник. Если Pn ¾  периметр этого n-угольника, а Sn ¾  площадь, то имеет место равенство

При возрастании n, как вы уже знаете, велиина Pn убывает и стремится к L = 2pR ¾ длине окружности. Последовательность Sn с ростом n также убывает и стремится к величине S = pR 2, которую мы принимаем равной площади круга (рис. 293).

Нетрудно понять, что то же самое значение для площади круга мы получаем, рассматривая последовательность площадей правильных вписанных n-угольников. При этом, если последовательность площадей описанных многоугольников убывающая, то последовательность площадей вписанных многоугольников возрастающая. Итак, площадь круга вычисляется по формуле

Площадь сектора

Рассмотрим теперь сектор, соответствующий центральному углу величиной a(a ¾ радианная мера угла). Если Sa ¾ площадь этого сектора, то имеет место равенство (площади двух секторов относятся как их центральные углы, Sp ¾ площадь полукруга). Нажми и увидишь

Таким образом ,

 

Если la = aR ¾ длина дуги, соответствующей центральному углу a, то

 

Площадь сегмента

Для вычисления площади сегмента (сегмент ¾ это часть круга, ограниченная хордой и соответствующей дугой) удобно рассматриваемую площадь представить в виде разности площадей сектора и треугольника . (площади двух секторов относятся как их центральные углы, Sp ¾ площадь полукруга). Нажми и увидишь

В результате для площади Qa сегмента, дуге которого соответствует центральный угол a, получим следующую формулу:

 

(Кстати, из этой формулы следует, что при всех a имеет место неравенство sin a < a.)

Контрольные вопросы

Чему равна площадь круга диаметром 2 ?( p = 3,14 )

Ответ (десятичныю дробь записывать при помощи запятой, например "3,14")

Чему равна площадь сектора, соответствующего центральному углу в 2 радиана, круга диаметром 2 ?( p = 3,14 )

Ответ (десятичныю дробь записывать при помощи запятой, например "3,14")

Из какой формулы можно получить неравенство sina < a ( при всех a )

Формулы площади круга

Формулы площади сегмента

Формулы площади сектора